היה בנו של ר' נפתלי הרץ, נכד לרבי שכנא ונין לרבי נתן. אמו הייתה דבורה, בתו של רבי נחמן, הרב מטשערין. הוא נשא לאשה את יוטא בתיה, בתו של ר' יוסף יונה ואסתר שיינדל, נכדה לחנה צירל שהייתה בתו של רבי נתן. בצורה זו היה ר' אברהם שטרנהרץ נינו של ר' נתן; הוא נשא לאשה את נכדתו של ר' נתן, וחמיו היה בנו של ר' נתן. כתוצר של ענפים אחדים של משפחתו של ר' נתן, ובו-בזמן נכדו של הרב מטשערין, לר' אברהם הייתה גישה לכל המסורות משפחתיות והסיפורים על ר' נתן, שהיוו את היסוד לספרו "טובות זכרונות", אחד המקורות הראשיים שלנו לביוגרפיה זו.
לאחר שהתייתם בגיל צעיר, גדל ר' אברהם אצל סבו המכובד, אשר השפעתו עליו הייתה אבסולוטית. אפילו כילד, גילה ר' אברהם חריצות רבה בלימוד התורה, תכונה שבשלה נודע גם סבו. אחרי תפילת שחרית היה מתבודד בעליית הגג, שם היה לומד את "ליקוטי מוהר"ן" ללא הפסקה עד שידע בעל פה את שעורו של יום. אחרי שהשלים את לימוד הש"ס כבר בגיל שש עשרה, הוא התחתן וכיהן כסופר סתם בטשערין. בגיל תשע עשרה התקבל כרב בקרמנטשוג. כאשר היה בן עשרים ושתים, סבו, הרב מטשערין ורבי אברהם בער (ראה לעיל) מינו אותו שליח ציבור בקיבוץ ראש השנה, באומן.
ר' אברהם עלה לארץ הקודש ב1936- והתיישב בעיר העתיקה של ירושלים, שם הכירו בו כזקן הדור מקהילת ברסלב. הוא המשיך להוביל את תפילות ראש השנה בארץ ישראל, ובשנת 1940 הקים במירון "קיבוץ" (התקבצות החסידים לתפילות ) ראש השנה. כאשר הוגלה מהעיר העתיקה במלחמת השחרור בשנת 1948, התיישב מחדש בקטמון, שכונה ירושלמית, יחד עם חסידי ברסלב נוספים רבים. בין תלמידיו היו רבים ממנהיגי ברסלב הדגולים של העשורים האחרונים –
ר' שמואל הורוביץ (1905-1973), ר' גדליה אהרן קעניג (1921-1980), ר' צבי אריה ליפל (1903-1979), ר' צבי אריה רוזנפלד (1922-1978) (ע"ש נקרא המכון) ור' שמואל שפירא (1913-1989)
וכן מהדור הנוכחי:
רבי משה בורשטיין (נולד 1914-2012) ובנו ר' נחמן בורשטיין (נולד 1934),
ר' מיכל דורפמן (נולד 1913-2005)
ור' יעקב מאיר שכטר (נולד 1932).